6-Mathématiques

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MATHÉMATIQUES


LEÇON N°01 : LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION ET L’ALGÉBRE DE BOOLE
LEÇON N°02 : LA NOTION DE LA LOGIQUE BINAIRE ET LA TABLE DE VÉRITÉ
LEÇON N°03 : LES PORTES LOGIQUES ET CIRCUITS LOGIQUES
LEÇON N°04 : DES REPÈRES ET LES COORDONNÉES DANS SON PLAN
LEÇON N°05 : LA RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
المــركــــز الــوطنـــي للتكويــن و ا
لتعلـــيم
المهــني
يـن عــــن بعـــــد
.(م.و.ت.ت)م.ب
Centre National de la Formation et
de l’Enseignement Professionnels
à Distance
(CNFEPD)
الجمه
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ة الشعبي
ة ـــ
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

وزارة التك
ــ وي ــ
ن و التعلي
ـــ
م المهنيي
ن ــ
Ministère de la Formation et de l’Enseignement Professionnels


OBJECTIF GENERAL

A l’issu de ce module, vous serez capable de résoudre les équations
mathématiques.

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LEÇON N°01 : LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION ET L’ALGÉBRE DE BOOLE











PLAN DE LA LEÇON :

I- LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION

1- Base d’un système de numérotation
2- Les différents systèmes de numérotations

II- CONVERSION D’UNE BASE X À LA BASE 10
 RÉSUMÉ

III- CONVERSION ENTRE BASES

1- Conversion Décimal – Binaire
2- Conversion du décimal à une base X
3- Conversion Binaire – Octal –Hexadécimal et vice versa

IV- OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES EN BINAIRE

1- Addition
2- Soustraction
3- Multiplication

V- DIVISION

VI- LA COMPLÉMENTATION

1- Complément à un
2- Complément à deux
3- Soustraction par complément à deux et addition

EXERCICES D’APPLICATION
CORRECTION DES EXERCICES






OBJECTIF PÉDAGOGIQUE


À la fin de cette leçon, le stagiaire doit être capable d’étudier les systèmes de
numérotation et l’algèbre de Boole et de résoudre les problèmes de calcul matériel.

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I- LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION :

1- Base d’un système de numérotation :

Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 ,
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).

Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de
symboles distincts.

Exemple :

Système binaire (bi: deux),
Le système octal (oct: huit),
Le système hexadécimal (hexa: seize).

En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement
des chiffres).

Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du
système de numération

Pour compter des objets et les représenter par des nombres, on utilise des "systèmes de
numération", en général "pondérés".








2- Les différents systèmes de numérotations :

1.2- Système Décimal :

La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts
des deux mains :





3 4558 2





,



Système de numération
Base du système
Symboles (digits)

Poids du digit selon son rang
Base : 10
Symboles :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Poids: puissance de 10
Pour le système de
numérotation décimal
on a :


Poids faible
Poids fort
Partie décimal
Partie fractionnelle
567
345

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Développement en polynôme d’un nombre dans le système décimal

Soit le nombre 2011, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :

2011= 2*10 3 + 0 *102 + 1 *101 + 1 *10 0
2011= 2*1000+ 0 *100 +1 *10+ 1 *1
2011= 2000+ 000+ 10+ 1

Cette forma s’appelle la forme polynomiale
Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale

1978,265 = 1*103 + 9 *102 + 7 *101 + 8*100 + 2*10-1 + 6*10-2 + 5*10-3


Comptage en décimal

• Sur une seule position : 0, 1, 2, 3, 4, 5,….9= 101-1
• Sur deux positions : 00, 01,02, …..,99=102-1
• Sur trois positions 000,001,……,999=103-1
• Sur n positions : minimum 0,.., maximum 10n-1, nombre de
Combinaisons 10n

2.2- Système Binaire :

C’est le système utilisé par les ordinateurs pour faire des calculs et communiquer.






Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2
symboles : {0, 1}


(1 0 010 1)2



(1 0010 1 )2





Remarque :

Un nombre binaire de 4 bit est appelé quartet.

Exemple : 1010

Un nombre binaire de 8 bit est appelé octet.

Exemple : 10011110


Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomiale.

(1110)2 = 1*23 +1*22+ 1*21 +0*20= (14)10

Pour le système de numération
binaire on a :
Base : 2
Symboles : 0,1
Poids: puissance de 2


La base
Un bit
Le Bit du poids fort
Le Bit du poids faible

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(1110,101)2 = 1*23 +1*22+ 1*21 +0*20+ 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = (14,625)10


Comptage en binaire :

Sur un seul bit : 0, 1
Sur deux bits







4
Combinaisons= 22

Sur trois bits










8

Combinaisons= 23

3.2- Système Octal :

Ce système permet d’abréger l’écriture des nombres binaires.






8 symboles sont utilisés dans ce système: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}


Exemple 1 :


(127)8 = 1 * 82+ 2 * 81 +7 * 80 = (87)10

(127,65)8 = 1 * 82+ 2 * 81 +7 * 80+ 6 * 8-1+ 5 * 8-2 =

(87,828125)10

Exemple 2 :

Le nombre (1289) 8 n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9 n’appartiennent
pas à la base.
Binaire
Décimal
00
01
10
11
0
1
2
3
Binaire
Décimal
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7
Pour le système de numération
octal on a :
Base : 8
Symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Poids: puissance de 8

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4.2- Système Hexadécimal :

Ce système permet d’abréger l’écriture des nombres binaires.





16 symboles sont utilisés dans ce système:{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, A, B, C, D, E, F}

(17)16= 1 * 161 +7 * 160= (23)10
(AB) 16= A * 161 +B * 160= 10 * 161 +11 * 160= (171)10




















II- CONVERSION D’UNE BASE X À LA BASE 10 :

Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de
ce nombre dans la base X, et de faire la somme par la suite.

(1101)2= 1*23 +1*22 +0*21+ 1*20 =(13)10
(1A7)16=1*162+A*161+7*160=1*16+10*16+7*16= 256+160+7=(423)10
(1101,101)2= 1*23+ 1*22+0*21+1*20 +1*2-1+ 0*2-2+ 1*2-3= (13,625)10
(43,2)5= 4*51+ 3*50+ 2*5-1 =20+ 3+ 0,4 =(23,4)10

RESUME :

Dans une base X, on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres.

La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieure à la base X.
Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale.



Hexadécimal
Décimal
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
Pour le système de
numération
hexadécimal on a :
Base : 16
Symboles :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A ,B ,C,D,E,F
Poids: puissance de 16

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III- CONVERSION ENTRE BASES :

1- Conversion Décimal – Binaire :

Pour passer du décimal vers une le binaire :

On divise le nombre à convertir par la base d’arrivée (2).
On répète les divisions tant que le quotient est supérieur ou égal à la base (2).

Le résultat est donné en lisant le dernier quotient et les restes de la dernière vers la
première division.


Exemple : (0,6)10 = ( ?)2




(0,6)10 = (0,1001)2



REMARQUE : Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision.


2- Conversion du décimal à une base X :

La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens
inverse.

Exemple1 : (35)10=(?)3.




(35)10=(1022)3.








0,6 * 2
= 1 ,2
0,2 * 2
= 0 ,4
0,4 * 2
= 0 ,8
0,8 * 2
= 1 ,6
3
5

3


2

1
1

3



2


9
3



0

1

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QUESTION : Effectuer les transformations suivantes :

(43)10=(?)2=(?)5=(?)8=(?)16.














(43)10=(101011)2=(133)5=(53)8=
(2B) 16.



Conversion d’une base b1 à une base b2 :

Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement.

L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10, en suite convertir le résultat de
la base 10 à la base b2.







Exemple1 : (34)5=(?)7.

(34)5=3*51+4*50=15+4=(19)10=(25)7


3- Conversion Binaire – Octal –Hexadécimal et vice
versa :


Conversion Binaire – Octal

En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3 bits en
binaire.

L’idée de base est de replacer chaque symbole dans la base
octal par sa valeur en binaire sur 3bits (faire des éclatements
sur 3 bits).






4
3


3

5


1
43

2




1
21

2




1
10
2





0
5
2




1
2
2




0
1

16
11
2
43

8

3

5

43

16
11

2
19

7
5

2
Octal
Binaire
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
b1
b2
10
?
2
5

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Exemples :

(345)8= (011 100 101)2
(65,76)8= (110 101, 111 110)2
(35,34)8= (011 101, 011 100)2

Remarque :

Le remplacement se fait de droite à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour
la partie fractionnelle.

Conversion Octal – Binaire

L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids faible.

Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante.

Exemple :

(11001010010110)2= (011 001 010 010 110)2=(31226)8
(110010100,10101) 2 = (110 010 100, 101 010) 2=(624,51)8

Remarque :

Le regroupement se fait de droite à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour
la partie fractionnelle.

Conversion Binaire – Hexadécimal

En hexadécimal chaque, symbole de la base s’écrit sur 4 bits en binaire.

L’idée de base est de replacer chaque symbole dans la base octal par sa valeur en binaire sur
4 bits (faire des éclatements sur 4 bits).



















Exemples :

(345B) 16 = (0011 0100 0101 1011) 2
(AB3, 4F6) 16= (1010 1011 0011, 0100 1111 0110) 2


Conversion Hexadécimal – Binaire

L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible.

Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur hexadécimal correspondante.


Octal
Binaire
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

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Exemple :

(11001010100110)2= (0011 0010 1010 0110)2= (32A6)16
(110010100,10101) 2= (0001 1001 0100,1010 1000) 2 = (194, A8) 16


IV- OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES EN BINAIRE :

1- Addition :

L’addition binaire s’effectue de la même manière qu’une addition décimale, mais en se
situant dans l’arithmétique des nombres binaires. Pour ce faire, on commencera par poser la
table d’addition binaire :


Exemple 1 :





(1010101010010011)2+(100010001101101)2=( ?)2










1
1
1
1
1








Donc

(1010101010010011)2+(100010001101101)2=(1110111100000000)2

Exemple2 :

(1010111010010011)2+(100110001101101)2=( ?)2








1010111010010011)2+(100110001101101)2=(1111101100000000)2





A
B
A+ B
R
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1















1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1
Retenues
A
B
+
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Retenues
A
B
+
Somme

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Exemple2 : (10101110)2+(11111000)2=( ?)2


Retenues

1
1
1
1




A


1
0
1
0
1
1
1
0
B
+

1
1
1
1
1
0
0
0
Somme

1 1
0
1
0
0
1
1
0


Donc (10101110)2+(11111000)2=(110100110)2

2- Soustraction :

La soustraction binaire s’effectue de la même manière qu’une soustraction décimale, on
commencera par poser la table de soustraction binaire :

A
B
A- B
E
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0



Exemple : (110101101)2 - (101100110)2=( ?)2

A

1
1
0
1
0
1
1
0
1
B
-
1
0
1
1
0
0
1
1
0
Emprunt


1



1
1


Soustraction
0
0
1
0
0
0
1
1
1

Donc (110101101)2 - (101100110)2=(1000111)2

3-Multiplication :

La multiplication binaire s’effectue de la même manière qu’une multiplication décimale, on
commencera par poser la table de multiplication binaire :

A
B
A x B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1

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Exemple : (1101)2 x (101)2=( ?)2

A




1
1
0
1
B
x




1
0
1

=



1
1
0
1

+


0
0
0
0
.

+

1
1
0
1
.
.

=
1
0
0
0
0
0
1

Donc (1101)2 x (101)2=(1000001)2


V- DIVISION :

La division binaire est le reflet exact de la division décimale. On utilise une nouvelle fois les
mêmes méthodes, et les mêmes propriétés s'appliquent.


Exemple : (10100101)2 / (101)2=( ?)2



1
0
1
0
0
1
0
1

1
0
1
1

1
0
1
1




1
1
1
1

1
0
0
1
1









1
0
1
1








0
1
0
0
0
0









1
0
1
1








0
0
1
0
1
1









1
0
1
1









0
0
0
0


















Donc (10100101)2 / (1011)2=(1111)2

VI- LA COMPLÉMENTATION :

Le complément permet de coder des nombres négatifs. En utilisant n bits, on peut alors
représenter les nombres de – (2n-1 -1) à + 2n-1 -1: le premier bit pour le signe (0 : positif, 1 :
négatif) et n-1 bits pour le nombre.

Exemple : Sur 8 bits on peut représenter -127 à +127


Sur 4 bits on peut représenter -7 à +7

Le complément existe sous deux formes : complément à un, et complément à deux.

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1- Complément à un :







Le complément à 1 d’un nombre binaire est trouvé en changeant tous les 1 à 0 et tous
les 0 à 1


1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0 1

Exemple :


+5=(0101)2 sur 4 bits  -5=(1010)2 sur 4 bits
+8=(001010)2 sur 6 bits  -8=(110101)2 sur 6 bits
+15=(00001111)2 sur 8 bits  -15=(11110000)2 sur 8 bits

ÉVALUATION :

 Pour Les nombres positifs sont évalués en évaluant la magnitude comme représentation
binaire du nombre.

 Pour les nombres négatifs : On affecte une valeur négative au poids du signe de bit, Et On
somme les poids dont la valeur du bit est à 1 Et on ajoute un 1


Exemple : 11101000)2=( ?)10 sur 8 bits

2- Complément à deux :

Cette méthode est la seule utilisable mathématiquement, Elle permet une utilisation des
nombres signés avec une représentation unique du zéro et la possibilité d'effectuer des
calculs.

Le complément à deux est trouvé en ajoutant un 1 au bit le moins significatif (LSF) du
complément à 1

– Complément à 2 = (Complément à 1) + 1

10110010
 01001101+1
 01001110

Exemple :

+5=(0101)2 sur 4 bits  -5=(1011)2 sur 4 bits
+8=(001010)2 sur 6 bits  -8=(110110)2 sur 6 bits
+15= (00001111)2 sur 8 bits  -15=(11110001)2 sur 8 bits




1
1
1
0
1
0
0
0

−27
26
25
24
23
22
21
2
0
128
64
32
0
8
0
0
0
=
-24
+1=
-23

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ÉVALUATION :

- Les nombres positifs et négatifs sont évalués en faisant la somme des poids correspondant à
des bits valant 1

- Attention : On affecte une valeur négative au poids du signe de bit pour un nombre négatif

Exemple 1 : (01010110)2=( ?)10 sur 8 bits

0
1
0
1
0
1
1
0
−27
26
25
24
23
22
21
20
0
64
0
16
0
4
2
0
=
+86







Exemple 2 : (10101010)2=( ?)10 sur 8 bits

1
0
1
0
1
0
1
0
−27
26
25
24
23
22
21
20
-128
0
32
0
8
0
2
0

=
-86







3- Soustraction par complément à deux et addition :


- Addition :

Quatre cas sont possibles :

Les deux nombres sont positifs : Dans ce cas-là on effectue une addition binaire classique.

Exemple : (00100011)2+(00100111)2=( ?)2 sur 8 bits

Retenues

1


1
1
1

A

0
0
1
0
0
0
1
1
B
+
0
0
1
0
0
1
1
1
Somme

0
1
0
0
1
0
1
0

(00100011)2+(00100111)2=(01001010)2

Le nombre positif est plus ’grand’ que le nombre négatif : On effectue une addition de
binaire classique, On ’oublie’ la dernière retenue (à gauche), La somme est positive.


Exemple : (01100011)2+(11010100)2=( ?)2 sur 8 bits

Retenues










A


0
1
1
0
0
0
1
1
B
+

1
1
0
1
0
1
0
0
Somme


0
0
1
1
0
1
1
1

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 15


(01100011)2+(11010100)2=(00110111)2

b- Le nombre négatif est plus ’grand’ que le nombre positif : On effectue une
addition binaire classique, La somme est négative et représentée directement dans le
système complément à 2.

c- Exemple : (00100011)2+(11010100)2=( ?)2 sur 8 bits

Retenues









A

0
0
1
0
0
0
1
1
B
+
1
1
0
1
0
1
0
0
Somme

1
1
1
1
0
1
1
1

(00100011)2+(11010100)2=(11110111)2

d- Les deux nombres sont négatifs : On effectue une addition binaire classique, On
oublie la dernière retenue la plus à gauche, Et le résultat est négatif et déjà représenté dans
le système complément à 2


Exemple : (10100011)2+(11110100)2=( ?)2 sur 8 bits

Retenues









A

1
0
1
0
0
0
1
1
B
+
1
1
1
1
0
1
0
0
Somme

1
0
0
1
0
1
1
1


(10100011)2+(11110100)2=(10010111)2
Dépassement de capacité (Overflow)

On parle d’Overflow quand il y a dépassement de la capacité pour représenter le résultat
d’une somme

 Quand il y a Overflow la somme n’est pas de même signe que les opérandes

 Cela peut se produire uniquement si les deux opérandes sont de mêmes signes

Exemple : (01111101)2+(00111010)2=( ?)2 sur 8 bits

Retenues

1
1
1
1




A

0
1
1
1
1
1
0
1
B
+
0
0
1
1
1
0
1
0
Somme

1
0
1
1
0
1
1
1

(01111101)2+(00111010)2=(10110111)2 sur 8 bits

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 16



- Soustraction :

La soustraction est considérée comme un cas particulier
de l’addition :

A - B = A + (-B)
-A - B = (-A) + (-B)

On prend donc le système complément à deux pour représenter (-B), Et on effectue une
addition.

Exemple : (01100101)2 - (00101011)2=( ?)2 sur 8 bits
(01100101)2 - (00101011)2= (01100101)2 +
(11010101)2

Retenues





1

1

A

0
1
1
0
0
1
0
1
B
+
1
1
0
1
0
1
0
1
Somme

0
0
1
1
1
0
1
0
(01100101)2 - (00101011)2=(00111010)2

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 17

EXERCICES D’APPLICATION :
EXERCICE N°01 :

Effectuer les transformations suivantes à la base 10 ?

(123) 6=(?)10
(45,76) 8 =(?)10
(1100,11) 2 =(?)10
(1ABC) 16 =(?)10

EXERCICE N°02 :

Effectuer les transformations suivantes :

(23,65) 10=(?)2
(18,190) 10=(?)2

EXERCICE N°03 :

Effectuer les transformations suivantes

(43)6=(?)5=(?)8
(2A) 16=(?)9


EXERCICE N°04 :

Effectuer les opérations suivantes

(1111101)2+(1110101)2=(?)2
(10001011)2+(1110101)2=(?)2
(1111101)2-(1110101)2=(?)2
(10001011)2-(1110101)2=(?)2
(11001)2x(10001)2=(?)2
(100111)2x(10101)2=(?)2
(1110101)2 / (1101)2=(?)2
(1110001111101)2 / (1101)2=(?)2

EXERCICE N°05 :

Effectuer les transformations en compléments à deux des nombres décimaux suivantes
(sur 8 puis 10 bits).

13, -15 , 122 , 255, -100, 128

EXERCICE N°06 :

Effectuer les opérations suivantes

(11001)2+(10001)2=(?)2

sur 8 bits
(100111)2 - (10101)2=(?)2 sur 6 bits
(01101101)2+(11110101)2=(?)2
sur 8 bits
(11001011)2+(1000101)2=(?)2
sur 10 bits
(1111101)2-(1110101)2=( ?)2
sur 7 bits
(10001011)2-(1110101)2=(?)2
sur 8 bits

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 18

CORRIGÉ DES EXERCICES :

EXERCICE N°01 :

(123) 6=1*62+2*61+3*60=36+12+3=(51)10
(45,76) 8 =4*81+5*80+2*8-1+2*8-2=32+5+0,25+0,015625=(37,265625)10
(1100,11) 2 =1*23+ 1*22+0*21+0*20 +1*2-1+ 1*2-2 = 8+4+0+0+0,5+0,25 = (12,75)10
(1ABC) 16 =1*163+A*162+B*161+C*160=1*4096+10*256+11*16+12*1
= 4096+2560+176+12
=(6844)10

EXERCICE N°02 :

(23,65) 10= (10111,101001)2
(18,190) 10=(10010,00110000101)2

EXERCICE N°03 :

(43)6=(27) 10=(102)5=(33)8
(2A) 16=(42) 10=(46)9

EXERCICE N°04 :

(1111101)2+(1110101)2=(11110010)2
(10001011)2+(1110101)2=(100000000)2
(1111101)2-(1110101)2=(1000)2
(10001011)2-(1110101)2=(10110)2
(11001)2x(10001)2=(110101001)2
(100111)2x(10101)2=(1100110011)2
(1110101)2 / (1101)2=(1001)2
(1110001111101)2 / (1101)2=(1000110001)2

EXERCICE N°5 :


En 8 bits
En 10 bits
13
00001101
0000001101
-15
11110001
1111110001
122
01111010
0001111010
255
impossible
0011111111
-100
10011100
1110011100
128
impossible
0010000000

EXERCICE N°6 :

Effectuer les opérations suivantes

(11001)2+(10001)2=(00101010)2 sur 8 bits
(100100)2 - (10101)2=(001111)2 Overflow sur 6 bits
(01101101)2+(11110101)2=(01100010)2 sur 8 bits
(11001011)2+(1000101)2=(0100010000)2 sur 10 bits
(1111101)2-(1110101)2=(0001000)2 sur 7 bits
(10001011)2-(1110101)2=(10000000)2
sur 8 bits

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LEÇON N°02 : LA NOTION DE LA LOGIQUE BINAIRE ET LA TABLE DE VÉRITÉ


PLAN DE LA LEÇON:

I- CONJONCTION
II- DISJONCTION
III- NÉGATION

1- Négation d'une phrase
2- Négation d'une proposition

IV- PROPOSITION ET TABLE DE VÉRITÉ


1- Description proposition
2- Table de vérité



V-TAUTOLOGIE ET CONTRADICTION
VI- ÉQUIVALENCE LOGIQUE : ALGÈBRE DES PROPOSITIONS

VII- RAISONNEMENT ET IMPLICATION LOGIQUE

1- Raisonnements
2- Implication logique







OBJECTIF PÉDAGOGIQUE


À l’issue de cette leçon, vous serez capable d’étudier la notion de la logique binaire et la
table de vérité.

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 20

I- CONJONCTION :
L'assertion « P et Q » (aussi notée « P ∧ Q ») est vraie si et seulement si P et Q sont toutes
deux vraies :



On appelle cette assertion la conjonction de P et de Q
Formes normales conjonctives

(p ou !q) et (q ou !r), (p ou !q) et (q ou !r) et (r et !p),

II- DISJONCTION :

Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est
VRAI. (En particulier, si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.) Cette loi est
aussi notée.



«∨» (« ») en mathématiques (et en logique mathématique) ou en APL.

« | » ou « || » dans certains langages de programmation

En toute lettre «or» ou «OR» en logique ou dans certains langages de programmation.

On privilégiera dans la suite la notation
mais on prendra garde que cette loi n'est pas
l'addition usuelle dans Z/2Z. C'est pourquoi, en mathématiques et en logique mathématique,
la notation
n'est pas utilisée pour désigner le "ou inclusif" : elle est réservée au "ou
exclusif", opération qui (jointe au "et") fait de toute algèbre de Boole un anneau de Boole, en
particulier une Z/2Z-algèbre.









III- NÉGATION :

1- Négation d'une phrase :

1- Proposition En mathématiques, une proposition est une phrase mathématique.
Une proposition peut être vraie ou fausse.

Dans les phrases qui suivent, la lettre x représente un nombre réel.









P
Q
P∧Q
Faux
Faux
Faux
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Faux
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Table de la loi OU
b\a
0
1
0
0
1
1
1
1

Négation de la proposition A
Vrai ou faux
B1
Il existe réel x qui a un carré strictement négatif

B2
x  5

B3
Tous les rectangles sont des parallélogrammes

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 21

2- Négation d'une proposition :

Soit une phrase A
La phrase B est la négation de la phrase A lorsque:
Si A est vraie alors B est fausse et si A est fausse alors B est vrai.
La négation des phrases du I-1 sont:

On note non P ou ¬P, la négation de « P » :

P
Non P (¬P)
Vrai
Faux
Faux
Vrai

IV- PROPOSITION ET TABLE DE VÉRITÉ :

1- Description proposition :

Écrivez une proposition logique des trois variables p, q et r.
Les variables sont 'p', 'q' et 'r'.
Les symboles de constantes sont '1' ou 'V' pour Vrai, '0' ou 'F' pour Faux.
'!' est l'opérateur unaire de négation (!p est la négation de p, on peut aussi utiliser les signes -
, /, \).
Les connecteurs 'ou' (disjonction, inclusive) 'et' (conjonction) peuvent être respectivement
remplacés par '+' et par '.', '*', 'x'.

Les autres connecteurs binaires sont '=>', '<=', '<=> Les parenthèses '(', ')' ou les crochets '[', ']'
peuvent être utilisés dans l'écriture de la formule propositionnelle.

Exemples à 0 ou 1 variable :

F ou F, F ou V, V ou V, F et F, F et V, V et V,
F => V, V => V, V => F, V <=> V, F <=> F, V <= F,
p ou F, p ou V, p et F, p et V, p ou p, p et p, p ou !p, p et !p,
p => p, !p => p, p => !p, p <=> p, p <=> !p


Exemples à 2 variables :

Commutativité ou non q ou p, q et p, (q => p) <=> (p => q), (q <=> p) <=> (p <=> q).

2- Table de vérité :

Une table de vérité est une manière sémantique de représenter le calcul propositionnel
classique. Ces outils sont couramment utilisés en électronique (porte logique) et en
informatique (tests).

- Cet outil de travail nous permettra d’identifier toutes les possibilités que les actionneurs
peuvent exécuter, que soit une sortie active (1) ou non active (0).

- Dans la première les actionneurs sont identifiés par des variables. Une table de vérité se
divise en deux c’est-à-dire, les variables d’entrées (Bouton poussoir, contact, etc..) et les
variables de sorties (relais, moteurs, lumière, solénoïdes, etc...)

- Les variables d’entrées sont identifiés par des lettres de l’alphabet de A à W. Les variables
de sorties sont identifiées par la terminologie « sortie » pour seulement une variable et par
des lettres non utilisées par les variables d’entrées pour plus d’une sortie (ex: X, Y, Z).

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 22







 Conception d’une table de vérité :

Pour concevoir une table de vérité il faut en premier lieu identifier le nombre de variable
d’entrée. Cette information nous permettra de déterminer toutes les possibilités possibles
que peuvent exécuter les variables entre elles.

Faut comprendre que les variables n’ont que deux possibilités 0 ou 1, active ou désactive, ont
dit d’eux qu’ils sont binaire (seulement deux possibilités).

On peut donc affirmer que le nombre de possibilités d’une variable exposant le nombre de
variable déterminera les nombres de combinaisons possibles.

Sachant le nombre de variable (2 exposant à la n), nous pourrons déterminer le nombre de
division de la table de vérité.

Exemple voir table précédente :

Variable A et B = 2² = 4 lignes et 2 colonnes, la troisième colonne servira à identifier la sortie.

Puis on identifiera chacun des casiers dans un ordre binaire. Exemple à la page suivante.

Premier case = 00
Second case = 01
Troisième case = 10
Quatrième case = 11

Table de vérité, identification de la sortie :








La colonne Sortie sera indiqué par un nombre binaire 0 ou 1. Le nombre indiquer (0 ou 1) dans
cette case dépendra de l’énoncé ou de la composante à laquelle les conditions des variables
activeront oui ou non la sortie.

Exemple:

La compagnie vous informes que le moteur (Sortie) devra s’activer uniquement si le bouton A
est enfoncé et pas le bouton B. Ce qui signifie que la première ligne de la colonne sortie, on
indiquera 0, la seconde un 0, la troisième 1 et la dernière 0.

A
B
Sortie
Etats
Etats
Etat
A
B
Sortie
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 23

Table de vérité à plusieurs de sortie :

 Il est possible qu’il soit nécessaire d’avoir plusieurs sorties à partir d’une table de
vérité.

 Un bon exemple serait l’utilisation de deux moteurs électrique à partir d’un même
circuit électrique. Reprenons l’exemple précédent et ajoutons que le deuxième moteur
s’activera uniquement si les boutons A et B sont enfoncés.











 Table de vérité, type de montage :

Les sorties sont variables en fonctions du type de montage.

Exemple : A + B = A ou B, circuit en OU

À la première ligne binaire si A = 0 et B = 0, la sortie sera = 0
À la deuxième ligne binaire si A = 0 et B = 1, la sortie sera = 1
Etc.










Exemple composé :

Table de vérité de a. (b+c)

a
b
c
a. (b+c)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1


Le '.' se dit et, le '+' se lit ou.

On lit dans ce tableau : a et (b ou c)

Pour valider cette table, il faut donc que le a soit à l'état 1, ainsi que b ou c.

‘et’ et ‘ou’ sont les opérateurs d'un état logique. On note les entrées "E" et les sorties "S".
A
B
Sortie X
Sortie Y
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
A
B
Sortie
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 24

V- TAUTOLOGIES ET DES CONTRADICTIONS1:


1- Définition

Une expression propositionnelle est une tautologie si et seulement si pour toutes les
affectations possibles de valeurs de vérité à ses variables sa valeur de vérité est T.

Exemple : PV ¬ P

PPV ¬ P de P
---------------------
T
F
T
F
T
T
Une expression propositionnelle est une contradiction si et seulement si pour toutes les
affectations possibles de valeurs de vérité à ses variables sa valeur de vérité est F.

Exemple : P Λ ¬ P

P ¬ PP Λ ¬ P
---------------------
T
FF
F
T
F
Utilisation de tautologies et les contradictions - à prouver la validité des arguments ; pour la
réécriture des expressions utilisant uniquement les connecteurs de base.

VI- ÉQUIVALENCE LOGIQUE : ALGÈBRE DE PROPOSITIONS :

On appelle équivalence de P et Q l'assertion, notée «P  Q» qui n'est autre que (PQ) et
(Q Q)
(PQ) est vraie si et seulement si P et Q ont même valeur de vérité. Dans ce cas on dit que P
(resp : Q) est une condition nécessaire et suffisante de Q (resp : P) :

P
Q
PQ
Q P
PQ
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Vrai
Faux
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Faux
Faux
Vrai
Vrai
Vrai

Quelques résultats usuels

Ici P, Q et R désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :

 non (P et Q)  (non P ou non Q)
 non (P ou Q)  (non P et non Q)
 non (P  Q)  (P et non Q)

(P  Q)  (non Q  non P)






1 Source : Lydia Sinapova, CMSC 175 mathématiques discrètes : Leçon 2 : Tautologies et contradictions. Equivalences
logiques, sur site : http://faculty.simpson.edu/lydia.sinapova/www/cmsc180/LN180_Johnsonbaugh-07/L02-CompSt.htm

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 25

VII- RAISONNEMENT ET IMPLICATION LOGIQUE :

1- Raisonnements :

 Raisonnement déductif :

Bien sûr, si P  Q et Q  R alors P  R (et il en va de même pour les équivalences). C'est
la base du raisonnement déductif : partant de l'hypothèse, on arrive à la conclusion par une
succession d'implications reliées les unes aux autres.

 Raisonnement par équivalences :

Lorsqu'on cherche à résoudre une équation (ou un système d'équation), on veut trouver

Toutes les solutions et que des solutions. Le raisonnement déductif ne sufi pas : on raisonne
par équivalence.

 Raisonnement par l'absurde :

Soient P et Q deux propositions. Pour montrer
on peut établir qu'il est impossible
d'avoir à la fois P vraie et Q fausse

Dans la pratique pour démontrer un résultat par l'absurde, on suppose que l'hypothèse est
vraie et que la conclusion est fausse. On montre alors que cette supposition est impossible en
arrivant à une absurdité (par exemple 0 = 1)

2- Implication logique :

En logique mathématique, l'implication est l'un des connecteurs binaires du langage du calcul
des propositions, généralement représenté par le symbole « ⇒ » et se lisant « seulement si »
ou, de façon équivalente, « si …, alors … » comme dans la phrase « s'il pleut, alors mon gazon
est arrosé »1.

L'implication admet des interprétations différentes selon les différents systèmes logiques
(logique classique, modale, intuitionniste etc...).

Étant un connecteur, qui produit une proposition à partir de deux autres, et qui est interprété
par une opération sur les propositions ou sur les valeurs de vérités, l'implication n'est pas la
déduction qui est une relation entre propositions a logique s'intéresse d'une part aux règles de
construction des phrases mathématiques, d'autre part à leur vérité.

Soit X un ensemble. Un énoncé, ou une proposition, est une phrase mathématique dépendant
des éléments de X. Un énoncé peut avoir deux valeurs, dépendant des éléments de X:vrai ou
faux (1 ou 0). On associe à chaque énoncé P la partie de X des éléments tels que P est vrai.

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 26

LEÇON N°03 : LES PORTES LOGIQUES ET CIRCUITS LOGIQUES

PLAN DE LA LEÇON :

INTRODUCTION

I- DUALITÉ, THÉORÈMES FONDAMENTAUX

II- ORDRE ET ALGÈBRE DE BOOLE

III- EXPRESSION BOOLÉENNE, FORME POLYGONALE

IV- PORTES LOGIQUES, CIRCUITS LOGIQUES

V- SIMPLIFICATION DES CIRCUITS LOGIQUES : DIAGRAMME DE KARNAUGH
DIAGRAMME DE VENN










OBJECTIF PÉDAGOGIQUE


À la fin de cette leçon, le stagiaire doit être capable d’appliquer les portes logiques et
circuits logiques.

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 27


INTRODUCTION :

Définit en 1847 par Georges Boole (1815-1864), physicien Anglais

- Algèbre applicable au raisonnement logique qui traite des fonctions à variables binaires
(deux valeurs).
- Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deux états d'équilibre.
- Permet d'étudier les circuits logiques (un système logique sert à modifier des signaux).

L’algèbre de Boole permet de manipuler des valeurs logiques

- Une valeur logique n’a que deux états possibles :
- Vraie(1) ou Fausse(0).
- Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour donner un résultat qui est lui aussi
une valeur logique

Exemple :

- Arrêt marche
- Ouvert fermé
- Enclenché déclenché
- Avant arrière
- Vrai faux
- Conduction blocage

I - DUALITÉ, THÉORÈMES FONDAMENTAUX :

1- Définition d’Algèbre de Boole :

Soit B, un ensemble ayant au moins 2 ´éléments notes 0 et 1. On munit B de 2 opérations
binaires internes, notées« + » et « • », et d’une opération unaire notée x → bar (x) =
(B, +,
•, bar) possède une structure d’Algèbre de BOOLE, si les opérations ont les propriétés
suivantes :

- Commutativité : a + b = b + a et a • b = b • a
- Associativité : « + » et « • »sont associatives, c’est `a dire :



Éléments neutres : 0 est le neutre pour + et 1 est le neutre pour •, c’est `a dire :




- Distributivité : Chaque opération est distributive par rapport à l’autre :

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 28



2- Le théorème de dualité :

En algèbre de BOOLE, tout théorème se présente sous 2 formes duales. L’énonce du théorème
dual s’obtient en permutant systématiquement dans l’énonce du théorème initial,
les « + »par les « • » et les neutres 0 par les 1.

2.1- Pratique du calcul BOOLEEN :

- Proposition :

1. Nous avons : 1 = 0 et 0 = 1
2. Nous avons de plus : a = a
3. Principe d’idempotence : a + a = a et a • a = a
4. «1» est absorbant pour l’addition, et 0 pour la multiplication i.e.
1 + a = 1 et 0 • a = 0

-
Démonstration :


2.2 -Démonstration de 1 est absorbante pour l’addition :

- Théorèmes fondamentaux :

-
Théorème d’absorption :Dans une somme de produits booléens, un terme absorbe ses
multiples, c’est à dire :

a + ab = a

- Démonstration :C’est simple! a + ab = a • 1 + ab = a (1 + b) = a (1) = a

2.3- Théorème de redondance :


- Démonstration :

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 29


Car tout nombre absorbe ses multiples

Associativité et commutativité des opérations, et réorganisation des calculs

3- Théorème de MORGAN :


Les propositions sont ”duales” l’une de l’autre Démonstration :

En utilisant le principe de redondance2.3, o`u nous pouvons écrire :

dire que nous avons choisi dans 2.3
; et nous avons donc :


II- ORDRE ET ALGÈBRE DE BOOLE :

1- Algèbre de Boole comme structure ordonnée :

Une algèbre de Boole est un ensemble ordonné (E, ≤) :
 Il existe un plus petit élément, noté dans la suite 0 (il est souvent noté également
), et un
plus grand élément noté dans la suite 1 (il est souvent noté également
) ;
 Deux éléments a, b de E ont une borne supérieure, notée dans la suite a∨b, et une borne
inférieure notée dans la suite a∧b (c'est-à-dire que c'est un treillis) ;
 L'opération ∧ est distributive sur l'opération ∨, et l'opération ∨ est distributive sur
l'opération ∧, c'est-à-dire que pour tous a, b et c de E :
a∧ (b∨c) = (a∧b) ∨ (a∧c),
a∨ (b∧c) = (a∨b) ∧ (a∨c) ;
 Pour tout élément a de E, il existe un élément a’ de E, appelé complément de E et
vérifiant :

a∧a’ = 0 et a∨a’ = 1.

Ainsi une algèbre de Boole est un treillis distributif, borné (avec plus petit et plus grand
élément), et complémenté. Il suffirait de donner une des lois de distributivité, l'une
entraînant l'autre dans un treillis (voir l'article lié).

On montre que chaque élément possède un unique complément. En effet si a1 et a’ sont des
compléments de a, en utilisant les propriétés des compléments, de l'ordre, et la distributivité
on obtient :

a1 = (a∧a’) ∨a1 = (a∨a1) ∧ (a’∨a1) = a’∨a1

C’est-à-dire qu’a1 ≤ a’. De la même façon a1 = a’∧a1, donc a’ ≤ a1, d'où l'égalité.

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Par unicité du complément, l'application qui à a associe sont complément est involutive
(a’’ = a). Elle échange 0 et 1. Également par unicité du complément et par distributivité on
montre que le passage au complément échange ∧ et ∨, ce sont les lois de De Morgan (voir
paragraphe suivant).

On déduit des axiomes d'ordres que les opérations ∧ et ∨ sont associatives, commutatives,
que 0 est neutre pour ∨ et absorbant pour ∧, que 1 est neutre pour ∧ et absorbant pour ∨, et
que ces opérations sont idempotentes.

III- EXPRESSION BOOLÉENNE, FORME POLYGONALE :

Une expression booléenne est une expression qui a pour valeur le type de données booléen.
Les expressions Booléen peuvent revêtir plusieurs formes. La forme la plus simple est la
comparaison directe de la valeur d'une variable Booléen à un littéral Booléen, comme le
montre l'exemple suivant :

Fonction booléenne de trois variables a, b, c :

Écrivez une fonction des trois variables booléennes a, b et c.
Les
variables
sont
'a',
'b'
et
'c'.
Les symboles de constantes sont '1' ou 'V' pour Vrai, '0' ou 'F' pour Faux.
'!' est l'opérateur unaire de complémentation (!a est le complément de a, on peut aussi
utiliser
les
signes
?,
-,
/,
\,
N,
n).
'+' '.' Sont les opérateurs binaires de la somme et du produit booléens, le signe '.' peut être
omis
ou
remplacé
par
x,
*.
Les parenthèses '(', ')' ou les crochets '[', ']' peuvent être utilisés dans l'écriture de la fonction.

Expression booléenne : [(!a + !b + !c)(!b + c)] [(!a + !b + !c)(a!b + b!c + c!a)]

((!a+!b+!c).(!b+c)).((!a+!b+!c).(a.!b+b.!c+c.!a))
b.c
b.!c
!b.!c
!b.c
a
0
0
1
1
!a
1
0
0
1

Forme
normale
disjonctive
(somme de produits)
: !a !b c + !a b c + a !b !c + a !b c
Écriture
simplifiée
(avec recouvrements éventuels)
: a !b + !a c + !b c

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IV- PORTES LOGIQUES, CIRCUIT LOGIQUE :Porte logique «ET» «AND» :

La sortie de la porte « ET » est à 1 si toutes les entrées sont à 1


Sortie ET a 1 si : a ET b ET c ET d sont à 1



 La sortie de la porte «ET» est à 1 si toutes les entrées sont à 1 . Il y a un seul cas


Dans les autres cas la sortie est à '0’ :



Porte logique «OU»«OR» :

La sortie du circuit «OU» est à 1 si une entrée est à 1.
 sortie OU a 1 si : a OU b OU c OU d est à 1

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Si une entrée est à 1, la sortie est à 1 :



Si toutes les entrées sont à 0 alors la sortie est à 0. Il y a un seul cas :



Porte logique «NON-ET»«NAND» :

La sortie de la porte « NON-ET » est à 1si une entrée est à 0.

 Sortie NON-ET a 1 si : a OU b OU c OU d est à 0



La sortie du circuit «NON-OU» est à 1 si toutes les entrées sont à 0.

 Sortie NON-OU a 1 si : a ET b ET c ET d sont à 0



1- Circuits logiques :

Circuits ayant un certain nombre d'entrées et de sorties, chacune d'entre elles ne pouvant
prendre que 2 états.

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2- Circuits logiques combinatoires :

Circuits ayant un certain nombre d'entrées et de sorties, chacune d'entre elles ne pouvant
prendre que 2 états

3 -Circuits logiques combinatoires :

L'état de la sortie est une fonction déterminée de l'état des entrées :S = f(a, b,...)

4-Circuits logiques séquentiels :

L'état seul des entrées ne suffit pas pour connaître l'état de la sortie car à un même état des
entrées peuvent correspondre des états de sortie différents.

5-Schémas électriques :

Un des premiers types de circuit logique qui vient à l'esprit.
Les symboles utilisés sont














Les
contacts
sont
toujours
dessinés
au
repos.

Un
contact
ouvert
au
repos
est
représenté
par
une
lettre
minuscule.

Un contact fermé au repos est représenté par une lettre minuscule surmontée d'une barre.

Les différents organes sont dits à l'état 0 lorsqu'ils sont au repos (non actionnés, non
alimentés) et à l'état 1 lorsqu'ils fonctionnent.

EXEMPLES D’APPLICATIONS :
 A + AB = A


 A + /AB = A + B



contact normalement ouvert
contact normalement fermé
ampoule

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 A (B + C) = AB + AC


 A (A + B) = A +AB = A


V- SIMPLIFICATION DES CIRCUITS LOGIQUES : DIAGRAMME DE
KARNAUGH :

1- Diagramme de Venn :

Représentation graphique d’une fonction logique :

ET: intersection OU: réunion



2- Tableau de « KARNAUGH »:

Forme stylisée d’un diagramme de Venn

 Chaque case correspond à :
 Une combinaison des valeurs des entrées
 Donc à un minterme
 Donc à une ligne de la table de vérité

 Dans chaque case on indique la valeur de la fonction :

- 0
- 1
- ou Ø => état indifférent

Explications :L'application construit le tableau de Karnaugh de la fonction booléenne et
l'écrit sous forme normale disjonctive de la fonction. En outre l'application donne une
expression
simplifiée
de
la
fonction.

Le tableau est prévu pour trois variables a, b, c. Si l'une des variables ou plusieurs d'entre
elles sont absentes de l'expression, le nombre de cases du tableau et leur position ne
changent pas et les trois variables peuvent apparaître dans la forme normale disjonctive.

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La forme normale disjonctive est soit 0 soit une expression des trois variables a, b, c. C'est
une somme d'au plus huit produits de trois facteurs. Les trois facteurs sont a, b, c ou leurs
compléments !a, !b et !c. (Par exemple, un terme pourrait être a!b!c).




À chacun des termes de la forme normale disjonctive correspond une case du tableau et,
inversement, à chaque case du tableau correspond un produit. (Par exemple, a!b!c se trouve
dans la case
définie par 'a' à gauche et par b!c! au-dessus).

Lorsque la fonction est constante égale à 0 ou à 1, le programme l'indique, Sinon une écriture
simplifiée utilisant les variables a, b ou c est donnée.

Dans certains cas l'expression peut encore se simplifier, voir l'exemple par défaut où a.!b +
!a.c
+
!b.c
peut
s'écrire
a.!b
+
!a.c.
Lorsque le nombre de variables n'est pas élevé, le tableau de Karnaugh permet de simplifier
assez simplement les expressions obtenues. L'image ci-contre montre comment simplifier a!b
+ !ac + !bc en a!b + !ac.



Les groupements considérés de plusieurs cases marquées '1' ont

-8 cases (toutes) : la fonction est égale à la constante '1'

-4 cases (consécutives* ou en carré*) : le terme correspondant aux 4 cases est formé d'une
seule variable ou de son complément

-2 cases (accolées*) : le terme est composé de deux variables (a !b par exemple).

-1 case : les termes sont composés de trois variables (ou de leurs compléments)

-0 case : la fonction est nulle.

* : sur le schéma, les deux cases !ac (en rouge) sont considérées accolées, de même dans
un autre exemple on considèrerait que les 4 cases c = abc+a!bc+!abc+!a!bc forment un
carré.

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Remarques: Lorsque l'expression proposée est mal construite, certaines erreurs sont
détectées, une expression vide et un caractère incorrect seront signalés ainsi que certaines
erreurs de parenthèses ou de positions des opérateurs.

Si le tableau ne s'affiche pas, c'est que l'expression entrée est incorrecte et que le type de
l'erreur
n'a
pu
être
déterminé.
Si vous voulez obtenir la forme normale conjonctive de f, cherchez la forme disjonctive de !f
à l'aide de cette page et déduisez-en f = !(!f) à la main. par exemple avec f = a.(b+c)+!a.!c,
calculez !f = !(a.(b+c)+!a.!c) = !a c + a !b !c et déduisez de cette dernière expression f =
(a+!c)(!a+b+c) et vérifiez le résultat.

Exemple pour simplifier la construction de Tableau de Karnaugh :

1ère étape : construire le tableauSi l'on a 2 variables a et b :

-a est placé en colonne,
-b sera placé en ligne,

Ce qui donne le tableau suivant :

De ce fait, on se retrouve avec 4 cases vides, correspondant aux 4 combinaisons possibles de
2 variables pouvant prendre 2 états.

Avec notre exemple, Voilà ce que donne le tableau rempli :

À partir du moment où le tableau est correctement rempli, on peut commencer à résoudre le
système.

2ème étape : Rassemblement

Le but est très simple. Il faut effectuer des regroupements de 1 ou de X ; par paquets de 1, 2,
4 ,8, 16....2^n. Ces regroupements doivent être des rectangles ou des carrés, jamais de
travers, et les plus grands possible sachant qu'un élément déjà utilisé peut être repris.
Attention : ne pas oublier que le tableau de Karnaugh est écrit sur un cylindre.

Avec notre exemple : on peut faire ces 2 rassemblements :

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3ème étape : Résolution des rassemblements

Maintenant que l'on a pu, avec différentes sélections, prendre tous les 1, on essaie de
résoudre les rassemblements. Pour cela, il faut que les variables participants au
rassemblement concerné ne changent pas.

-Avec
le
rassemblement
vert :La
variable
a
est
toujours
à
1
La solution verte donne : .

-Avec
le
rassemblement
rouge :La
variable
b
est
toujours
à
1
La solution rouge donne : .


La solution finale du tableau est :


Exemples :

-Exemples à 0 ou 1 variable

0 + 0, 0 + 1, 1 + 1, 0 . 0, 0 . 1, 1 . 1,

a + 0, a + 1, a . 0, a . 1, a + a, a . a, a + !a, a . !a,

Exemples à 2 variables

Commutativité b + a, b . a,
Compléments !(a + b), !(a . b), a.b + a.!b,
Absorption a + a.b,

-Exemples à 3 variables

Distributivités a (b + c), (a + b) . (a + c),

Produits de sommes (a + !b) . (b + !c), (a+!b).(b+!c)(c+!a),

(a+b+c)(!a+b)(!b+c)(!c+a), (a+b+c) . (!a+!b+!c),

(!a+b+c) . (a+!b+c). (a+b+!c),

Exemples :Donner la Négations de ces sommes dans le tableau de Karnaugh

-!(a!b + b!c + c!a), !(a!bc + ab!c + !abc), !(ab + bc + ac+a!b),

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Tableau de Karnaugh

!(a.!b+b.!c+c.!a)
b.c
b.!c
!b.!c
!b.c
a
1
0
0
0
!a
0
0
1
0

Forme
normale
disjonctive
(somme de produits)
: !a !b !c + a b c
Écriture
simplifiée
(avec recouvrements éventuels)
: a b c + !a !b !c
-!(a!bc + ab!c + !abc)
Tableau de Karnaugh

!(a.!b.c+a.b.!c+!a.b.c)
b.c
b.!c
!b.!c
!b.c
a
1
0
1
0
!a
0
1
1
1

Forme
normale
disjonctive
(somme de produits)
: !a !b !c + !a !b c + !a b !c + a !b !c + a b
c
Écriture
simplifiée
(avec
recouvrements
éventuels)
: !a !c + !a !b + !b !c + a b c

-!(ab + bc + ac+a!b)

Tableau de Karnaugh

!(a.b+b.c+a.c+a.!b)
b.c
b.!c
!b.!c
!b.c
a
0
0
0
0
!a
0
1
1
1


Forme
normale
disjonctive
(somme de produits)
: !a !b !c + !a !b c + !a b !c
Écriture simplifiée (avec recouvrements éventuels)
: !a !c + !a !b

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RÉFÉRENCE WEBOGRAPHIQUE :

http://www.gilu.net/introduction_a_l_algebre_de_boole.htm
http://www.fsr.ac.ma/cours/informatique/mouline/AlgBoole.pdf
http://mathinfovannes.free.fr/articles.php?lng=fr&pg=130
http://www.reds.ch
http://fr.wikiversity.org/wiki/Logique_de_base

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LEÇON N°04 : DES REPÈRES ET LES COORDONNÉES DANS SON PLAN

PLAN DE LA LEÇON :

INTRODUCTION

I- DÉFINTION

II- OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS


1- Égalité de deux vecteurs
2- Somme de deux vecteurs
3- Différences deux vecteurs
4- Produit d’un vecteur par un réel


III- REPÉRAGE DANS UN PLAN



1- Longueur d’un vecteur
2- Direction d’un vecteur
3- Coordonnées d’un vecteur
4- Coordonnées d’un vecteur
5- Coordonnées d’un vecteur colinéaire

EXERCICE D’APPLICATION
CORRIGÉ DES EXERCICES



OBJECTIF PÉDAGOGIQUE


À l’issue de cette leçon, le stagiaire doit être capable de faire des repères et les coordonnées
dans son plan.

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LEÇON N°04 : DES REPÈRES ET LES COORDONNÉES DANS SON PLAN

INTRODUCTION :

Un vecteur est une flèche – les vecteurs sont utiles en sciences physiques pour représenter
une force, un déplacement, une vitesse. En Maths ils servent surtout à créer des repères pour
repérer avec des coordonnées dans un plan ou dans l’espace.


1- Définition :


Un vecteur est constitué de trois données :

- Une longueur,
- Une direction (droite portant le vecteur),
- Un sens.


Exemple :










.



O n a : - A est l’origine du vecteur

- B est l’extrémité du vecteur

II- OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS :

1- Egalité deux vecteurs :

Deux vecteurs et sont égaux (et on écrit : = ) si et seulement si :

-
Ils ont la même longueur :
=
.

-
Ils ont la même direction : Les droits portants et sont parallèles.

-
Ils ont le même sens : Le sens des deux vecteurs est identique.


Conséquences :









Exemple :








Cas n°1 Cas n°2 Cas n° 1 : Les deux vecteurs
et
ne sont pas égaux
Cas n° 2 : Les deux vecteurs
et
sont égaux
Le vecteur
représente donc :
AB ou
: La distance entre
A et B
(AB) : La direction représentée
par la droite passant par A et B
A
B
1-
=
est équivalent à
ABCD est un parallélogramme
A
B
C
D
2- I est le milieu du segment
est équivalent à :
A
I
B
.
.
.
M
N
N
M
P
Q
P
Q .
.

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2- Somme de deux vecteurs :

La somme de deux vecteurs qui sont placés l’un au bout de l’autre est le vecteur qui part de
l’origine du premier et qui arrive à l’extrémité de l’autre

Si A, B et C sont 3 points on a toujours
+
=
(c’est la relation de Chasles)






3- Différences de deux vecteurs :

La différence de deux vecteurs c’est la somme du premier et de l’opposé du second.

L’opposé du vecteur c’est un vecteur de même longueur et de même direction que mais
de sens opposé (la flèche est tournée de l’autre coté).













4- Produit d’un vecteur par un réel :

Le produit (on le quotient) d’un vecteur
par un nombre k est un vecteur de même
direction que
, de longueur multipliée par k, et de sens contraire à celui de
si K est
négatif.

On note : = k

Exemples :

4 = + + +

-3 =3(- )


Remarque :

1- Si deux vecteurs ont la même direction, on dit qu’ils sont colinéaires

2- Il n’est pas possible d’additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs

3- Si
et
sont colinéaires alors : (AB) // (CD)




4- Si
et
sont colinéaires alors les points A, B et C sont alignés






La somme des deux vecteurs
rouges est le vecteur bleu
A
C
B
Si A et B sont deux points,
on a toujours
= -


Exemple :

-
=
+
=






Pour construire - , on
construit +


-
-3
A
B
C

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REPÉRAGE DANS UN PLAN :

On note (o , ) un repère orthogonal .
On note A (xA, yA) et B (xB, yB) deux points de ce repère.

1- Longueur d’un vecteur :

La longueur d’un vecteur
, donc AB, est donnée par la formule :

AB =
=


2- Direction d’un vecteur :

La direction du vecteur AB est la droite (AB) et son équation est : y =
(xB – xA) +yA

3- Coordonnée d’un vecteur :

Si M (x, y) est un point du repère (o, , ) alors

= x + y






Exemple :



 A (-1,2)
= - + 2
 B (2.5)
= 2 + 5

4- Coordonnées d’un vecteur :

Les coordonnées du vecteur
sont données par la formule
donc on aura =
= (
) + (
)












Propriété :

Si deux vecteurs sont égaux alors ils ont les mêmes coordonnées.




(x B – xA )2 + (yB – yA)2
Exemple :

A (2,3) et B (4,4)
donc


= 2 +1
= 2 +
A



O


M
O
A

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5- Coordonnées et vecteurs colinéaires :

Si les vecteurs et sont colinéaires alors : = k

On a donc : k =
=
car xu = k xv
Yu = k yv


xu yv = xv . yu
xu yv - xv . yu =0

Donc on peut dire que :


et
sont colinéaires alors :

x1 y2 – x2 y2 = 0

Exemple : Les vecteurs
et
sont colinéaires

Résultat :

Si I est le milieu du segment
alors ses coordonnées sont :
I (
)

IV-EXERCICES D’APPLICATION ET CORRIGÉS :

EXERCICES N° 01 :

Les vecteurs
et
sont colinéaires. Combien vaut y ?

SOLUTION :

On a :

12 10 –y. (-30) = 0 120 +30y = 0
Y = -



EXERCICES N° 02 :

Dans un repère, A (7, -3), B (-3,-14) et C (27,17) .Les points A, B et C sont-ils alignés ?


SOLUTION :











(-10) 20 – (-11) 20 = -200 +220 = 20 0

Alors A, B et C ne sont pas alignés
Y = -4

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EXERCICE N°03 :

Dans un repère A (-3,5) et B (1,1). Le point C est aligné avec A et B. Il a pour abscisse 17
Quelle est son ordonnée ?


SOLUTION :



et
sont colinéaires, alors :

4 (yc -5) – (-4) (20) = 0 4yc -20+80 = 0

4yc +60 = 0
Yc =
donc : C (17,-15)


EXERCICE N° 04 :

Dans un repère A (-37-11) et B (-12,11). Quelle sont les coordonnées du point S symétrique de
B par rapport à A?

SOLUTION :

A est le milieu du segment SB alors :

A (
)

On a alors :
= -37 xs -12 = -74


= -11 ys +11 = -22

On trouve xs = 62
Ys = -33 alors :


EXERCICE N° 05 :

Dans chaque cas, déterminer à partir du graphique une relation du type = k ou k est un
réel :























Yc = -15
S
A
B
S (62,-33)


1
2
3
4

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SOLUTION :

1- et ont la même direction, et sont de même sens donc k
0
= donc =


2- et ont la même direction, et sont de sens contraire donc
k
0
=-

3- Ici : K
0 donc : =-

4- Ici : K
0 donc : =

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LEÇON N°05 : LA RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES


PLAN DE LA LEÇON :

INTRODUCTION

I- LES ÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE INCONNUE
II- LES ÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX INCONNUES
III- SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES

1- Définitions
2- Rang d’un système d’équations linéaires
3- Système de Cramer
4- Méthode de Gauss
RÉSUMÉ



OBJECTIF PÉDAGOGIQUE

À la fin de cette leçon, le stagiaire doit être capable d’appliquer la résolution d’un
système d’équations linéaires mathématiques.

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INTRODUCTION :

Le chercheur dans tous les domaines, se trouve souvent confronté à des problèmes dont la
résolution passe par celle d’un système d’équations qui modélisent les divers éléments
considérés.

On se rend facilement compte que la résolution d’un système d’équations linéaires est aisée.
Pour ce faire, il existe plusieurs méthodes de résolutions :

a- Méthodes directes : Qui conduisent à la solution en un nombre d’opérations connues
comme :

La méthode de CRAMER
La méthode de GAUSS
La méthode de JORDAN
La méthode de CHOLEVSKY …

b- Méthodes itératives : Qui conduisent à la solution par une succession d’améliorations
d’une solution approchée, le nombre d’itérations nécessaires étant difficile à prévoir et
dépendant de la structure de la matrice associée au système (qu’on définira plus tard).

Il existe plusieurs méthodes itératives :

 La méthode de JACOBI
 La méthode de GAUSS-SEIDEL
 La méthode de la RELAXATION

Mais dans cette leçon, on va présenter seulement les méthodes directes suivantes :

 MÉTHODE DE CRAMER
 MÉTHODE DE GAUSS

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I- LES ÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE INCONNUE :

Dans tout ce chapitre, les équations considérées seront, sauf indication contraire, des
équations à résoudre dans

Soit l’équation linéaire suivante :




La solution de cette équation se fait comme suit :

Si


D’où


Si


(1)
: On a une infinité de solutions et x est totalement indéterminé
(2)
: On n’a pas de solutions c’est-à-dire l’équation est impossible.


Exemple :

Soit l’équation :




En multipliant les deux membres par 18 on obtient l’équation équivalente :




D’où




D’où


II- LES ÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX INCONNUES :

1- Équation homogène :


Cette équation n’est jamais impossible, sa résolution est résumée ci-dessous :

 a et b non nuls tous les deux :




 a = b = 0 on a une double infinité de solutions, x et y arbitraires tous les deux :

2- Équation affinée :


La résolution de cette équation se fait comme suit :

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 a et b non nuls tous les deux :

Les solutions de l’équation sont infinies, c’est-à-dire qu’il existe une infinité de solutions,
l’une des solutions était arbitraire.


:

C = 0 : Double infinité de solutions, x et y était arbitraires tous les
deux.
C = 0 : L’équation est donc impossible.

Remarque :

Dans le cas ou a et b non nuls, si (x0 , y0) est une solution particulière (arbitraire) de
l’équation, toutes les autres solutions seront données par les formules :




Exemple :

Résoudre dans Z*Z l’équation :




De l’équation donnée, on tire y en supposant x connue :







Mais x et y appartiennent à Z, cela implique que :

X – 1 est un multiple de 3 c’est-à-dire :
X – 1 = 3K
.

Les solutions recherchées sont donc données par les formules :




III- SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES :

1-
Définition :

- On appelle système de « n » équations linéaires à « p » inconnues à coefficients dans un
corps K, tout système de la forme :





…………………………………………… (1)



- On appelle solution du système (1) tout élément (
)

qui vérifie le système
(1).

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- On appelle système homogène associé au système (1), le système déduit de (1) avec

avec
.

- On appelle matrice associée à (1) la matrice des coefficients des Xi :














2- Rang du système linéaire :

A la matrice A associée au système (1) correspond l’application linéaire :

par rapport aux bases canonique de :


et


Alors le système (1) se met sous la forme fonctionnelle :


et sous la forme matricielle




Où
et
sont des matrices colonnes d’éléments Xi et BJ

- On appelle « RANG » du système d’équations linéaire le rang de la matrice A associé à (1) :




RANG D’UNE MATRICE :

a- Définition 1 :

La famille de vecteurs
de
, est une famille libre (linéairement indépendante)
si toute combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille a ses coefficients nuls c’est-à-
dire :

Pour





Exemple :

Soient


Montrer que ces vecteurs sont deux à deux linéairement indépendants, il faut que ?

Pour que
soient linéairement indépendants, il faut que :




Où

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D’où









Ainsi :


b- Définition 2 :

On appelle rang d’une matrice A le rang des vecteurs colonnes de A. autrement dit, le rang
de A est le nombre maximum de vecteurs colonnes de A linéairement indépendants.

On note : r [A] le rang de la matrice A.

Exemple :

Trouver le rang de la matrice suivante :



A=




On applique la définition du rang d’une matrice. Considérons les vecteurs colonnes :








On va étudier leurs indépendances linéaires.
Soient
des éléments de tel que :




C’est-à-dire :










Il en résulte du système précédent que

Ainsi, les trois vecteurs sont linéairement indépendants et le rang de la matrice A est égale à
3.
Soit “ r ” le rang du système linéaire (1), les cas possible sont :

a)

b)

c)

2 -3 4

3 1 5

-1 0 -1

0 2 4

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3- Système de Cramer (p=n=r) :

Quand le système (1) admet une solution celle-ci est donnée par le théorème suivant :

THÉORÈME (1) :

Soit le système de "n" équations à "n" inconnues :





…………………………………………….. (I)



Soit : A la matrice associée au système

X la matrice colonne des Xi
B celle des bi

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) Le rang du système est égal à "n".
b) Le système admet une solution unique pour tout
égale à
.
c) Le système homogène c’est-à-dire (B = 0) n’admet que la solution X = 0 dite solution
triviale.
d) Ma matrice A est inversible.

Définition :

Un système de "n" équations linéaires à "n" inconnues dans un corps K qui vérifie l’une des
quatre (04) propriétés équivalentes du théorème (1) est appelé "SYSTEME DE CRAMER".
Pour calculer cette solution unique :




Qui se met aussi sous la forme
, on désigne les vecteurs colonnes de la matrice A
par



Alors me système (I) s’écrit :




Pour obtenir le coefficient
, on remplace dans le déterminant det
le
vecteur
par le vecteur B, on obtient :








On déduit les formules donnant la solution du système de CRAMER



Où
est la matrice déduite de la matrice AA en remplaçant la colonne "i" par la colonne B.

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Exemple :

Résoudre le système des 4 équations linéaires suivantes à 4 inconnues :










La matrice associée au système (*) est :



A= , B =




Le calcul du déterminant donne :

Donc A est inversible et le système est un système de CRAMER, il admet une solution unique








A= , d’où







De la même manière, on peut trouver le reste des solutions :





Remarque :

Les cas où : a) n = p et r < n
b) p < n et (r = n où r < p)
c) p > n et (r = n où r < n)

Le système (I) n’est pas de CRAMER, selon les cas il admet soit une infinité de solutions soit
n’admet pas du tout de solutions.

4- Méthode de GAUSS :

Cette méthode est souvent utilisée, est constituée de deux étapes :

 La triangularisation,
 L’élimination.

a- Triangularisation :

Cette étape consiste à transformer le système (I) qui s’écrit sous la forme matricielle
suivante :
…(*)
-33

-49

16

101
3 3 5 -2

5 4 8 -3

2 3 -4 1

7 5 -18 6
-33 3 5 -2

-49 4 8 -3

19 3 -4 1

101 5 -18 6

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AX = B

En un système triangulaire :

(II) (4-4-a)

b- Résolution du système triangulaire supérieur précédent :

Cette étape consiste à calculer les inconnues
de la dernière à la première par la résolution
du système triangulaire (4-4-a). Cette méthode est dite : "Méthode d’élimination par la
remontée" ou "Méthode d’élimination de GAUSS" ou en anglais "Back substitutions".

Remarque :

On notera :


 Triangularisation :

Soit le système suivant :

















La triangularisation consiste à "éliminer" successivement les inconnues
; k = 1,2,…,n-1 dans
les équations k+1 à n.

L’élimination de
se fais de la manière suivante :

- Exprimer
en fonction de
et
en utilisant l’équation "k".
- Reporter l’expression de
précédente dans les équations "k+2", "k+2",…,"n".

Après élimination des inconnues
à
la matrice A est triangulaire supérieure puisqu’elle
ne comporte plus que des zéros sous la diagonale.

L’élimination de chaque inconnue
modifie [A] et
; notons
et
la matrice et le
second membre après élimination des inconnues 1,2,3,…,k. La matrice
étant la matrice
initiale A.

A =
et B =
est le système original.
Eliminer
dans les équations 2 à n
et

Eliminer
dans les équations 3 à n
et

………………………………………
Eliminer
dans les équations k+1 à n


et

………………………………………
Eliminer
dans les équations n


******système triangulaire supérieur.





=
(III)

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 Méthode d’élimination :

Pour éliminer la variable
du système (III) nous utiliserons la première équation sous la
forme suivante :


et reportons cette expression de
dans les équations 2,
3,4,…, n


















Ce que nous noterons comme suit :

















Où










Le système final s’écrit alors :













0 0















Soit


(IV)

Avec :



……………………………...




=
=
i, j = 2,…,n
i, j = k+1,…,n
=

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La matrice S état une matrice triangulaire supérieur

 Résolution du système triangulaire supérieur :

La résolution du système (IV) se fait à partir de la dernière équation, en calculant
successivement
d’où le nom de remonté ou back-substitution.









Exemple :

Soit le système non symétrique suivant :



=


Résoudre le système précédant par la méthode de GAUSS.

Solution :

1°) Triangularisation du système :

Après élimination de




D’où


=


Après élimination de
et de



=


Soit :


=

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Soit :
























=


Remarque importantes :

- La méthode précédente ne fonctionne plus si en cours de la traingularisation le pivot "
"
est nul. Il faut alors échanger la ligne "k" avec une autre ligne "i>k" telle que "a ik " 0".

- Dans le cas d’un système symétrique, nous pouvons conserver la symétrie à condition
d’échanger également les colonnes "i" et "k", ce qui implique une modification de l’ordre des
inconnues. Pour que ceci soit possible il faut que le terme diagonal "
" soit non nul.

- Si lorsque "
", tous les termes "
" avec (i>k) ou tous les termes "
" avec (i>k) sont
nuls, la matrice A es singulière ; Le système ne peut donc pas être résolu. Le déterminant de
la matrice A est le produit des termes diagonaux de la matrice triangulaire S.

Trouver le pivot non nul dans la matrice symétrique suivante :





Solution :

Le premier pivot "
" étant nul, échangeons la 1ère ligne avec la 2ème ligne, on obtient alors :




Cette matrice n’est plus symétrique. Nous ne pouvons dans ce cas échanger les colonnes 1 et
2 car ceci redonnerait un pivot nul en première ligne.

Après élimination de
:





1ère ligne
2ème ligne
3ème ligne
2ème ligne
1ère ligne
3ème ligne

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Après élimination de
et de
:





Le déterminant de [A] est : (4)(4)(-24) = -384

RÉSUMÉ :

Nous résumons la résolution d’une équation à une inconnue de la forme ax + b = 0 par le
tableau :

ax+b=0
a 0
b 0
x=b/a
a=0
b=0
Infinité de solutions
b 0
Equation impossible à résoudre

Et la résolution d’une équation à deux inconnues par le tableau :


ax+by=c
a 0
b 0
c=0
x= b

y=- a
c 0
x=
+
b

y=
-
a (
,
) : Solution
particulière
c=0
Double infinité de solutions.
a=0
b=0
c 0
Equation impossible à résoudre.

Dans cette leçon nous avons ensuite défini un système d’équation linéaires comme étant une
suite s’équations linéaire. La représentation matricielle de ce dernier est AX = B ou A es la
matrice du système et B et son second membre.

Enfin, on s’est intéressé aux méthodes de résolution directes et plus particulièrement à celle
de CRAMER et celle de GAUSS. Nous les résumons par :

1) Méthode de CRAMER : n=p=r det [A] 0

a- Système non homogène :





b- Système homogène :

La solution nulle est la solution triviale (elle est unique).

2) Méthode de GAUSS :

a- Triangularisation de A :








i, j = k+1,…, n

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b- Résolution du système triangulaire :

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EXERCICES D’APPLICATION :

EXERCICE N°01 :

Résoudre le système suivant par la méthode de CRAMER (démonter qu’il est de CRAMER)








EXERCICE N°02 :

Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de la matrice inverse :











EXERCICE N°03 :

Résoudre le système des 4 équations linéaires à 4 inconnues suivant par la méthode de
CRAMER :











Résoudre le système suivant par la méthode de GAUSS :



2

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CORRECTION DES EXERCICES D’APPLICATION :

EXERCICE N°01 :

Calcul du rang du système :




(1)



La matrice A associée au système (1) est :




Les valeurs colonnes de la matrice A sont :








On va étudier leur indépendance linéaire :

Soient
de telle que :





(1)

(2)

(3)

(3)










D’où :



(1’)

(2’)




(1’)+ (2’)










D’où les (03) vecteurs colonnes sont linéairement indépendant donc le rang du système est "3"

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La résolution du système :

Le nombre d’équation est égale au nombre d’inconnues et c’est aussi égale au rang du
système donc le système est de CRAMER :

Le calcul du déterminant : det [A] = 26 ; non nul.

Le système donné est de CRAMER donc il possède une solution unique donnée par les formules
suivantes :













La solution unique (x, y, z)= (1,-3,-2).

EXERCICE N°02 :










La matrice associée au système est [A] :




L’inverse de [ ] est [
]




Alors :







La solution est :

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EXERCICE N°03 :









La matrice associée au système est :




Le calcul du déterminant donne : det [A]=-2

Donc A est inversible et le système est de CRAMER ; il admet une solution unique :













Solution est :
=
.

EXERCICE N°04 :


2


=





a) Triangularisation :

Après élimination de
:






Soit

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Après élimination de
et de
:






Soit :





La solution du système triangulaire résultant :









Par la méthode de GAUSS, on trouve la solution :

INT1801/SEMESTRE I MATHEMATIQUES « PROPRIÉTÉ CNFEPD » PAGE 66

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES :

1- [ZIT.86] ALGÈBRE «COURS DE 1ÈRE ANNÉE DES UNIVERSITÉS »

a.
ZITOUNI Mohamed
b.
Editions O.P.U 1986

2- [BAB.83] ALGÈBRE I MUDULE SEM 300

a. BABA-HAMED C.
b. BENHABIB K.
c. Éditions O.P.U 1983

3- [BOU.93] MÉTHODES NUMÉRIQUES APPLIQUÉES

a. (Avec nombreux problèmes résolus en fortran 77)
b. M.BOUMAHRAT
c. A.GOURDIN
d. Éditions O.P.U 1993

4- [COM.81] ALGÈBRE (EXERCICE VUIBERT)
A.COMBES et D.BARGUES 1981

5- [BEN.75] INTRODUTION À L’ALGÈBRE LINÉAIRE

a.
Benali BENZAGHOU
b.
Éditions S N E D 1975

6- [DHA.84] PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

a.
Gouri DHATT
b.
Gilbert TOUZOT 1984